La Frecuencia Teórica — Tristán G. Trecu

En los artículos técnicos anteriores la primera frecuencia que se tomó como ejemplo para avanzar con la descripción matemática y la síntesis de sonido fué de $440 H\!z$. Esta es la frecuencia a la que, en general, se afina la nota $La4$. En la tabla 2, está la frecuencia de todas las notas del piano, incluida $La4$. De acuerdo a esta tabla y al cuadro de la derecha, se puede escribir $f(La4)=440 H\!z$. Si bien esta frecuencia para $La4$ es la más habitual, también se podría usar $f(La4)=442 H\!z$ o inclusive de $f(La4)=445 H\!z$. Si se usa cualquier valor distinto de $440 H\!z$ hay que volver a calcular toda la tabla para saber qué frecuencia le corresponde a cada nota. Pero en cualquier caso, el cálculo es siempre el mismo, solo cambia el valor inicial.

Para calcular la tabla 2, lo más sencillo es comenzar prestando atención a los intervalos de octava. Entre diferentes culturas existe cierta variación respecto de otros itervalos, pero el intervalo de octava es reconocido por todos los seres humanos independientemente de su experiencia musical o su pertenencia cultural. Cuando dos notas forman un intervalo de octava, el cociente entre la frecuencia de la nota más aguda y la frecuencia de la nota más grave es siempre $2$. Puede buscar en la tabla 2, cualquier par de notas separadas por una octava y hacer el cálculo, siempre se obtiene el número 2 como se ve en los ejemplos $(5)$ y $(6)$.

$$ \eqalignno{ \frac{f(La5)}{f(La4)}=\frac{880{,}00H\!z}{440{,}00 H\!z} = 2 \tag{5} } $$

$$ \eqalignno{ \frac{f(Do3)}{f(Do2)}=\frac{130{,}81 H\!z}{65{,}41 H\!z} = 2 \tag{6} } $$

Despejando $f(La5)$ de $(5)$ se obtiene $(7)$

$$ \eqalignno{ f(La5) = 2 f(La4) \tag{7} } $$

Para calcular la tabla completa hay que encontrar un valor, que cumpla la misma función que cumple el valor $2$ con las octavas, pero para los semitonos. Si se encuentra ese valor, se puede calcular la tabla completa a partir de la frecuencia de cualquier nota. Encontrar el valor es sencillo, teniendo en cuenta que la octava tiene doce semitonos, hay que encontrar un valor que, multiplicado doce veces por la frecuencia de una nota, dé la frecuencia de la nota una octava más aguda. Tomando un ejemplo, ¿por qué número hay que multiplicar 440 doce veces para obtener 880?. Si a este número desconocido lo llamamos $r$, se puede escribir $(8)$.

$$ \eqalignno{ f(La5) = r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ r\ f(La4) \tag{8} } $$

O lo que es lo mismo, pero mucho más elegante $(9)$.

$$ \eqalignno{ f(La5) = r^{12} f(La4) \tag{9} } $$

Despejando $r$ de $(9)$ se obtiene $(10)$

$$ \eqalignno{ r=\sqrt[12]{\frac{f(La5)}{f(La4)}} \tag{10} } $$

Pero el cociente entre las frecuencias de dos notas que forman un intervalo de octava es siempre $2$, de modo que se puede volver a escribir $(10)$ con lo que se obtiene $(11)$.

$$ \eqalignno{ r=\sqrt[12]{2} \approx 1{,}0594 \tag{11} } $$

Multiplicando la frecuencia de cualquer nota por este valor de $r$ se obtiene la frecuencia de la nota siguiente (más aguda), en la escala cromática. Para avanzar hacia los graves, hay que dividir por $r$. Esta es la forma de obtener todos los valores de las frecuencias de las notas del pianos que están en la tabla 2.

Nro	Nota	Frec. $(H\!z)$	Nro	Nota	Frec. $(H\!z)$	Nro	Nota	Frec. $(H\!z)$	Nro	Nota	Frec. $(H\!z)$
$1$	$La0$	$27{,}50$	$23$	$Sol2$	$98{,}00$	$45$	$Fa4$	$349{,}23$	$67$	$Re\#6$	$1244{,}51$
$2$	$La\#0$	$29{,}14$	$24$	$Sol\#2$	$103{,}83$	$46$	$Fa\#4$	$369{,}99$	$68$	$Mi6$	$1318{,}51$
$3$	$Si0$	$30{,}87$	$25$	$La2$	$110{,}00$	$47$	$Sol4$	$392{,}00$	$69$	$Fa6$	$1396{,}91$
$4$	$Do1$	$32{,}70$	$26$	$La\#2$	$116{,}54$	$48$	$Sol\#4$	$415{,}30$	$70$	$Fa\#6$	$1479{,}98$
$5$	$Do\#1$	$34{,}65$	$27$	$Si2$	$123{,}47$	$49$	$La4$	$440{,}00$	$71$	$Sol6$	$1567{,}98$
$6$	$Re1$	$36{,}71$	$28$	$Do3$	$130{,}81$	$50$	$La\#4$	$466{,}16$	$72$	$Sol\#6$	$1661{,}22$
$7$	$Re\#1$	$38{,}89$	$29$	$Do\#3$	$138{,}59$	$51$	$Si4$	$493{,}88$	$73$	$La6$	$1760{,}00$
$8$	$Mi1$	$41{,}20$	$30$	$Re3$	$146{,}83$	$52$	$Do5$	$523{,}25$	$74$	$La\#6$	$1864{,}66$
$9$	$Fa1$	$43{,}65$	$31$	$Re\#3$	$155{,}56$	$53$	$Do\#5$	$554{,}37$	$75$	$Si6$	$1975{,}53$
$10$	$Fa\#1$	$46{,}25$	$32$	$Mi3$	$164{,}81$	$54$	$Re5$	$587{,}33$	$76$	$Do7$	$2093{,}00$
$11$	$Sol1$	$49{,}00$	$33$	$Fa3$	$174{,}61$	$55$	$Re\#5$	$622{,}25$	$77$	$Do\#7$	$2217{,}46$
$12$	$Sol\#1$	$51{,}91$	$34$	$Fa\#3$	$185{,}00$	$56$	$Mi5$	$659{,}26$	$78$	$Re7$	$2349{,}32$
$13$	$La1$	$55{,}00$	$35$	$Sol3$	$196{,}00$	$57$	$Fa5$	$698{,}46$	$79$	$Re\#7$	$2489{,}02$
$14$	$La\#1$	$58{,}27$	$36$	$Sol\#3$	$207{,}65$	$58$	$Fa\#5$	$739{,}99$	$80$	$Mi7$	$2637{,}02$
$15$	$Si1$	$61{,}74$	$37$	$La3$	$220{,}00$	$59$	$Sol5$	$783{,}99$	$81$	$Fa7$	$2793{,}83$
$16$	$Do2$	$65{,}41$	$38$	$La\#3$	$233{,}08$	$60$	$Sol\#5$	$830{,}61$	$82$	$Fa\#7$	$2959{,}96$
$17$	$Do\#2$	$69{,}30$	$39$	$Si3$	$246{,}94$	$61$	$La5$	$880{,}00$	$83$	$Sol7$	$3135{,}96$
$18$	$Re2$	$73{,}42$	$40$	$Do4$	$261{,}63$	$62$	$La\#5$	$932{,}33$	$84$	$Sol\#7$	$3322{,}44$
$19$	$Re\#2$	$77{,}78$	$41$	$Do\#4$	$277{,}18$	$63$	$Si5$	$987{,}77$	$85$	$La7$	$3520{,}00$
$20$	$Mi2$	$82{,}41$	$42$	$Re4$	$293{,}66$	$64$	$Do6$	$1046{,}50$	$86$	$La\#7$	$3729{,}31$
$21$	$Fa2$	$87{,}31$	$43$	$Re\#4$	$311{,}13$	$65$	$Do\#6$	$1108{,}73$	$87$	$Si7$	$3951{,}07$
$22$	$Fa\#2$	$92{,}50$	$44$	$Mi4$	$329{,}63$	$66$	$Re6$	$1174{,}66$	$88$	$Do8$	$4186{,}01$

Tabla 2: Frecuencia de las 88 notas del piano.

Si las cuerdas de los pianos fueran perfectas y se comportaran exactamente como predice la teoría, cada una de las notas del piano se podría afinar a la frecuencia que aparece en la tabla 2. Pero las cuerdas de piano no son perfectas y por eso no se comportan como predice la teoría. Entre lo que predice la teoría y la realidad hay cierta diferencia que se hace más grande a medida que se consideran notas más alejadas de la zona central del piano. En la práctica, cuando un piano está recién afinado, la frecuencia de cada una de sus notas no coincide con la frecuencia de la tabla 2. Aún así, esta tabla es un punto de partida imprescindible. La frecuencia que se ve en la tabla 2 para cada una de las notas es la frecuencia teórica. Se llaman así, porque está calculada teniendo en cuenta un hipotético piano teórico, perfecto, pero inexistente. Si uno hiciera el experimento de afinar un piano usando estas frecuencias el resultado sería espantoso. Nunca jamás ningún técnico afina un piano con las notas en estas frecuencias. La frecuencia a la que realmente se afinan las notas del piano se llama frecuencia real. Entonces, existe una frecuencia teórica, la de la tabla, y una frecuencia real que difieren en un valor distinto para cada nota y para cada piano. La diferencia entre frecuencia teórica y frecuencia real como la diferencia entre cualquier par de frecuencias se expresa en céntimos. El céntimo y la forma de calcularlo, es el motivo del próximo artículo técnico.

Nro	Nota	Frec. \((H\!z)\)	Nro	Nota	Frec. \((H\!z)\)	Nro	Nota	Frec. \((H\!z)\)	Nro	Nota	Frec. \((H\!z)\)
\(1\)	\(La0\)	\(27{,}50\)	\(23\)	\(Sol2\)	\(98{,}00\)	\(45\)	\(Fa4\)	\(349{,}23\)	\(67\)	\(Re\#6\)	\(1244{,}51\)
\(2\)	\(La\#0\)	\(29{,}14\)	\(24\)	\(Sol\#2\)	\(103{,}83\)	\(46\)	\(Fa\#4\)	\(369{,}99\)	\(68\)	\(Mi6\)	\(1318{,}51\)
\(3\)	\(Si0\)	\(30{,}87\)	\(25\)	\(La2\)	\(110{,}00\)	\(47\)	\(Sol4\)	\(392{,}00\)	\(69\)	\(Fa6\)	\(1396{,}91\)
\(4\)	\(Do1\)	\(32{,}70\)	\(26\)	\(La\#2\)	\(116{,}54\)	\(48\)	\(Sol\#4\)	\(415{,}30\)	\(70\)	\(Fa\#6\)	\(1479{,}98\)
\(5\)	\(Do\#1\)	\(34{,}65\)	\(27\)	\(Si2\)	\(123{,}47\)	\(49\)	\(La4\)	\(440{,}00\)	\(71\)	\(Sol6\)	\(1567{,}98\)
\(6\)	\(Re1\)	\(36{,}71\)	\(28\)	\(Do3\)	\(130{,}81\)	\(50\)	\(La\#4\)	\(466{,}16\)	\(72\)	\(Sol\#6\)	\(1661{,}22\)
\(7\)	\(Re\#1\)	\(38{,}89\)	\(29\)	\(Do\#3\)	\(138{,}59\)	\(51\)	\(Si4\)	\(493{,}88\)	\(73\)	\(La6\)	\(1760{,}00\)
\(8\)	\(Mi1\)	\(41{,}20\)	\(30\)	\(Re3\)	\(146{,}83\)	\(52\)	\(Do5\)	\(523{,}25\)	\(74\)	\(La\#6\)	\(1864{,}66\)
\(9\)	\(Fa1\)	\(43{,}65\)	\(31\)	\(Re\#3\)	\(155{,}56\)	\(53\)	\(Do\#5\)	\(554{,}37\)	\(75\)	\(Si6\)	\(1975{,}53\)
\(10\)	\(Fa\#1\)	\(46{,}25\)	\(32\)	\(Mi3\)	\(164{,}81\)	\(54\)	\(Re5\)	\(587{,}33\)	\(76\)	\(Do7\)	\(2093{,}00\)
\(11\)	\(Sol1\)	\(49{,}00\)	\(33\)	\(Fa3\)	\(174{,}61\)	\(55\)	\(Re\#5\)	\(622{,}25\)	\(77\)	\(Do\#7\)	\(2217{,}46\)
\(12\)	\(Sol\#1\)	\(51{,}91\)	\(34\)	\(Fa\#3\)	\(185{,}00\)	\(56\)	\(Mi5\)	\(659{,}26\)	\(78\)	\(Re7\)	\(2349{,}32\)
\(13\)	\(La1\)	\(55{,}00\)	\(35\)	\(Sol3\)	\(196{,}00\)	\(57\)	\(Fa5\)	\(698{,}46\)	\(79\)	\(Re\#7\)	\(2489{,}02\)
\(14\)	\(La\#1\)	\(58{,}27\)	\(36\)	\(Sol\#3\)	\(207{,}65\)	\(58\)	\(Fa\#5\)	\(739{,}99\)	\(80\)	\(Mi7\)	\(2637{,}02\)
\(15\)	\(Si1\)	\(61{,}74\)	\(37\)	\(La3\)	\(220{,}00\)	\(59\)	\(Sol5\)	\(783{,}99\)	\(81\)	\(Fa7\)	\(2793{,}83\)
\(16\)	\(Do2\)	\(65{,}41\)	\(38\)	\(La\#3\)	\(233{,}08\)	\(60\)	\(Sol\#5\)	\(830{,}61\)	\(82\)	\(Fa\#7\)	\(2959{,}96\)
\(17\)	\(Do\#2\)	\(69{,}30\)	\(39\)	\(Si3\)	\(246{,}94\)	\(61\)	\(La5\)	\(880{,}00\)	\(83\)	\(Sol7\)	\(3135{,}96\)
\(18\)	\(Re2\)	\(73{,}42\)	\(40\)	\(Do4\)	\(261{,}63\)	\(62\)	\(La\#5\)	\(932{,}33\)	\(84\)	\(Sol\#7\)	\(3322{,}44\)
\(19\)	\(Re\#2\)	\(77{,}78\)	\(41\)	\(Do\#4\)	\(277{,}18\)	\(63\)	\(Si5\)	\(987{,}77\)	\(85\)	\(La7\)	\(3520{,}00\)
\(20\)	\(Mi2\)	\(82{,}41\)	\(42\)	\(Re4\)	\(293{,}66\)	\(64\)	\(Do6\)	\(1046{,}50\)	\(86\)	\(La\#7\)	\(3729{,}31\)
\(21\)	\(Fa2\)	\(87{,}31\)	\(43\)	\(Re\#4\)	\(311{,}13\)	\(65\)	\(Do\#6\)	\(1108{,}73\)	\(87\)	\(Si7\)	\(3951{,}07\)
\(22\)	\(Fa\#2\)	\(92{,}50\)	\(44\)	\(Mi4\)	\(329{,}63\)	\(66\)	\(Re6\)	\(1174{,}66\)	\(88\)	\(Do8\)	\(4186{,}01\)