El sonido, se puede definir como una vibración mecánica transmitida por un medio elástico. En el caso del sonido que producen los instrumentos musicales, el medio elástico es el aire y la vibración es la variación de presión, que en el caso del piano es una variación bastante complicada. Antes de entrar en los detalles sobre la complejidad relacionada con el sonido que produce el piano, es bueno comenzar por algún caso mucho más sencillo que permita entender cómo funciona la vibración mecánica.

El movimiento que se produce por los cambios de presión del aire, se puede pensar como la proyección sobre un sistema de ejes cartesianos, de una partícula que se mueve sobre un círculo. En la figura 1 se puede ver un dibujo de un círculo con la partícula en el extremo del radio. A la derecha del círculo hay un sistema de ejes sobre los que se proyectará el movimiento de la partícula que inicialmente se encuentra en el origen (el punto donde se encuentran el eje horizontal y el vertical).

Cuando la partícula se pone en movimiento, su proyección en el sistema de ejes cartesianos va dejando un trazo que se ve en los sucesivos dibujos de la figura 2. Cuando la partícula vuelve al punto de partida, se dice que completó un ciclo, es decir que recorrió el círculo completo y el radio avanzó 360°. El trazo que dejó la partícula en ese momento es el que aparece en el último dibujo de la figura 2.

El tipo de movimiento que se representa en la figura 2 se conoce como movimiento oscilatorio armónico simple. En la figura 3 se ve que el período \((T)\) es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo, es decir, 360°, o el tiempo que necesita la onda para volver a cruzar el eje horizontal con la misma pendiente. La frecuencia \((f)\), es la cantidad de ciclos que completa la partícula en un segundo. La unidad que se usa para el período es el segundo y el símbolo es \(s\), la unidad que se usa para la frecuencia es el Hertz y el símbolo es \(H\!z\).

La frecuencia es el valor recíproco del período como se muestra en \((1)\)

La amplitud \((A)\) es la diferencia entre el valor máximo o el valor mínimo de la onda y el valor medio.

La forma de onda que se muestra en la figura 3, además de obtenerse proyectando la posición de una partícula que se mueve sobre un círculo, se puede obtener graficando la función \((2)\).

Si usted no tiene una gran amistad con las funciones o con la matemática en general, este podría ser un buen momento para iniciarla. La descripción matemática de cualquier fenómeno es siempre muy precisa y es bueno elegirla cada vez que resulte posible. Para las personas a las que las funciones matemáticas les resultan ajenas, mi sugerencia es que visiten el sitio web de la Khan Academy. Allí se puede aprender bastante sobre funciones matemáticas en general, funciones trigonométricas y sobre muchos otros temas. Las clases sobre funciones trigonométricas de Khan Academy están disponibles en inglés aquí y en castellano aquí. Recuerde que, al menos en una primera etapa, para entender el sonido, con entender la función seno será suficiente.

Trazar el gráfico de la función \((2)\) es sencillo. El primer paso consiste en asignar valores a las variables \(A\) y \(f\). Una posibilidad es asignar \(A=0{,}5\) y \(f= 440\).

En \((2)\), dentro del paréntesis, hay cuatro factores, pero si \(f=440\) tres de los cuatro (\(2\), \(\pi\) y \(f\)) se pueden calcular de antemano ya que se mantienen constantes. Teniendo en cuenta que \( 2 \; \pi f = 2\times 3{,}14159 \times 440 = 2764{,}60\) se puede incorporar este resultado en \((2)\) y volverla a escribir, con lo que se obtiene \((3)\)

El próximo paso consiste en hacer una tabla con una columna para \(y\) y otra para \(t\). Para hacer los cálculos conviene tener una calculadora científica. Si no la tiene pero tiene un teléfono celular, descargue una. Hay muchísimas calculadoras científicas gratuitas para descargar. Pruebe hasta que encuentre una que le agrade y úsela para hacer estos cálculos. Para hacer la tabla, se puede asignar cualquier valor a \(t\), multiplicarlo por \(2764{,}60\) y luego usar la función sin (así es como está indicada la función seno en todas las calculadoras científicas). Multiplicando el resultado por \(0{,}5\) se obtiene el primer valor de \(y\). La tabla 1 está calculada exactamente de ese modo, con los valores redondeados al sexto decimal. Para encontrar valores razonables para \(t\) se puede pensar así. Teniendo en cuenta que ya se asignó a la frecuencia el valor de \(440 H\!z\) hay que pensar cuanto tiempo tardará una partícula en recorrer el círculo una sola vez, si es que lo puede recorrer \(440\) veces en un segundo. Este valor, es el período, que se puede calcular despejando \(T\) de \((1)\) con lo que se obtiene \((4)\)

Calculando \(1\div 440 H\!z\) se obtiene el valor de \(0{,}002273 s\). Esto significa que para graficar un solo período de una onda sinusoidal de \(440 H\!z\) hay que elegir valores de \(t\) entre \(0 s\) y \(0{,}002273 s\). En la tabla 1, el primer valor de \(t\) es \(0{,}000000 s\) y el último es \(0{,}002273 s\), los otros siete valores están elegidos a espacios regulares entre el primero y el último. Al trazar un gráfico a partir de la tabla 1 se obtiene el gráfico 1.

Este gráfico, tiene muy pocos puntos, porque los cálculos para obtener la tabla se hicieron con una calculadora de mano . Calcular muchos valores para la tabla, escribirlos y luego volcarlos en el gráfico se vuelve rápidamente engorroso. Pero aún con pocos datos, el gráfico permite ver claramente la forma de la onda. Este es, con muy pocos puntos, el gráfico de la función \((2)\) con \(A = 0{,}5\) y \(f = 440 H\!z\).

Si usted usa regularmente planillas de cálculo, sabe que es muy sencillo volver a hacer este gráfico con una cantidad grande de puntos. Más aún, si conoce algún lenguaje de programación, sabe que aún mejor que una planilla de cálculo es escribir un pequeño programa que permita graficar una función. Pero si no conoce ninguna de esas dos cosas, siga adelante con la calculadora que descargó que todavía tiene mucho para ofrecerle.

Si decidiéramos trazar otra vez este mismo gráfico, pero ahora con muchos puntos, lo que resultaría incómodo sería el tamaño de la tabla. Una tabla similar a la tabla 1 pero con cientos de datos, es difícil de leer, pero además, es difícil entender cómo están relacionados los datos si la tabla ocupa 30 o 40 páginas. Cuando los datos son muchos, es mejor trazar un gráfico y tratar de entender lo que ocurre a partir del gráfico. Esa es una de las enormes ventajas de presentar datos gráficamente. Permite ver, a golpe de vista, qué relación existe entre cientos, miles, o cientos de miles de datos.

A continuación, aparece el segundo intento por graficar \((2)\). Los límites son los mismos que en el gráfico 1, es decir que sigue habiendo un solo período completo, pero ahora el gráfico está trazado a partir de una tabla de 880 datos, que no está a la vista, porque sería demasiado grande.

El gráfico 1, el gráfico 2 y los que irán apareciendo en este artículo técnico y en los siguientes, están trazados usando un pequeño programa escrito específicamente para hacer este tipo gráficos y para incluirlos en los artículos técnicos. Aunque en el caso del gráfico 2, la tabla de datos no está a la vista, el programa la mantiene en memoria y la usa para trazar el gráfico. En este caso en particular, la tabla, aún con más de 800 datos, podría estar incluida, pero es bueno acostumbrarse a mirar únicamente un gráfico y tratar de entenderlo sin ver la tabla. Eventualmente, en artículos técnicos futuros, habrá gráficos trazados a partir de tablas de miles, decenas o cientos de miles de datos, y esas tablas son imposibles de incluir en una página como ésta.

En resumen, hacer el gráfico de una función es sencillo, como se vio con un ejemplo. Los gráficos son una herramienta importante para entender fenómenos muy variados, musicales, técnicos, económicos, científicos y muchos otros. Vale la pena desarrollar esta habilidad, porque resulta útil en muchas oportunidades.

Al comenzar a hacer los cálculos para trazar el gráfico 1 lo primero que se hizo fue asignar valores a \(f\) y \(A\). Ahora, con la única idea de entender cómo se comporta la función \((2)\) se puede cambiar, por ejemplo, el valor de \(A\), volver a calcular una tabla y volver a volcar la tabla en un gráfico. Asignando \(A=1\) se obtiene el gráfico 3.

El gráfico 3 es muy parecido al gráfico 2. Al asignar \(A = 1\) ahora la onda oscila entre \(+1\) y \(-1\) en lugar de hacerlo entre \(+0{,}5\) y \(-0{,}5\) como en el gráfico 2. Si se pudiera sintetizar sonido a partir de las tablas de datos que originaron el gráfico 2 y el gráfico 3 se notaría inmediatamente que lo único que cambia es el volumen. La altura de ambos sonidos es la misma, ninguno es más grave ni más agudo que el otro, lo que cambia es únicamente el volumen. Este es el primer concepto importante y por eso está destacado en el cuadro de la derecha. La amplitud está relacionada con el volumen del sonido. Más adelante, se verá con todo detalle cómo sintetizar los sonidos que corresponden a los gráficos 1 y 2 y cómo hacer para escucharlos en la computadora para poder compararlos.

El segundo valor que se asignó al comenzar a hacer los cálculos fue \(f=440 H\!z\). Si se mantiene el valor \(A = 1 \) pero se usa \(f = 880 H\!z\) en la función \((2)\), se vuelve a calcular la tabla y se vuelve a trazar el gráfico, se obtiene el gráfico 4. Si, una vez más, se pudiera sintetizar sonido a partir de las tablas de datos que originaron los gráficos 3 y 4 se notaría que lo que cambia ahora, es la altura del sonido. El segundo sonido es más agudo que el primero. Es, exactamente, una octava más agudo. Este es el segundo concepto importante. La frecuencia está relacionada con la altura o agudeza del sonido.

Existe una gran cantidad de información que se podría agregar sobre funciones oscilatorias armónicas pero por ahora, ya es suficiente. Es muy importante entender qué es la amplitud, qué es la frecuencia y cómo están relacionadas con el sonido.

El próximo artículo técnico permite llevar estas ideas a la práctica sintetizando sonidos que se puedan escuchar y comparar.